ДОКУМЕНТ ПОДПИСАН
ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДПИСЬЮ
Сертификат: 00D71C9F9605DFFACA33635B51B7F301D4
Владелец: Федотова Наталья Юрьевна
Действителен: с 14.11.2024 до 07.02.2026
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебный курс «Вероятность и статистика» углублѐнного уровня является
продолжением и развитием одноименного учебного курса углублѐнного уровня на уровне
среднего общего образования. Учебный курс предназначен для формирования у
обучающихся статистической культуры и понимания роли теории вероятностей как
математического инструмента для изучения случайных событий, величин и процессов.
При изучении курса обогащаются представления обучающихся о методах исследования
изменчивого мира, развивается понимание значимости и общности математических
методов познания как неотъемлемой части современного естественно-научного
мировоззрения.
Содержание учебного курса направлено на закрепление знаний, полученных при
изучении курса на уровне основного общего образования, и на развитие представлений о
случайных величинах и взаимосвязях между ними на важных примерах, сюжеты которых
почерпнуты из окружающего мира. В результате у обучающихся должно сформироваться
представление о наиболее употребительных и общих математических моделях,
используемых для описания антропометрических и демографических величин,
погрешностей в различные рода измерениях, длительности безотказной работы
технических устройств, характеристик массовых явлений и процессов в обществе.
Учебный курс является базой для освоения вероятностно-статистических методов,
необходимых специалистам не только инженерных специальностей, но также социальных
и психологических, поскольку современные общественные науки в значительной мере
используют аппарат анализа больших данных. Центральную часть учебного курса
занимает обсуждение закона больших чисел – фундаментального закона природы,
имеющего математическую формализацию.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса «Вероятность и
статистика» на углублѐнном уровне выделены основные содержательные линии:
«Случайные события и вероятности» и «Случайные величины и закон больших чисел».
Помимо основных линий в учебный курс включены элементы теории графов и
теории множеств, необходимые для полноценного освоения материала данного учебного
курса и смежных математических учебных курсов.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой для
формирования представлений о распределении вероятностей между значениями
случайных величин. Важную часть в этой содержательной линии занимает изучение
геометрического и биномиального распределений и знакомство с их непрерывными
аналогами – показательным и нормальным распределениями.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами и распределениями,
акцентируют внимание обучающихся на описании и изучении случайных явлений с
помощью непрерывных функций. Основное внимание уделяется показательному и
нормальному распределениям.
В учебном курсе предусматривается ознакомительное изучение связи между
случайными величинами и описание этой связи с помощью коэффициента корреляции и
его выборочного аналога. Эти элементы содержания развивают тему «Диаграммы
рассеивания», изученную на уровне основного общего образования, и во многом
опираются на сведения из курсов алгебры и геометрии.
Ещѐ один элемент содержания, который предлагается на ознакомительном уровне –
последовательность случайных независимых событий, наступающих в единицу времени.
Ознакомление с распределением вероятностей количества таких событий носит
развивающий характер и является актуальным для будущих абитуриентов, поступающих
на учебные специальности, связанные с общественными науками, психологией и
управлением.
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» на углубленном уровне
отводится 68 часов:
в 10 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 11 классе – 34 часа (1 час в неделю).
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи. Степень (валентность) вершины.
Графы на плоскости. Деревья.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события
(исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и вероятности событий.
Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые события.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания.
Серия независимых испытаний до первого успеха. Перестановки и факториал. Число
сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона.
Серия независимых испытаний Бернулли. Случайный выбор из конечной
совокупности.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения.
Операции над случайными величинами. Бинарная случайная величина. Примеры
распределений, в том числе геометрическое и биномиальное.
11 КЛАСС
Совместное распределение двух случайных величин. Независимые случайные
величины.
Математическое ожидание случайной величины (распределения). Примеры
применения математического ожидания (страхование, лотерея). Математическое
ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы случайных
величин. Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины (распределения).
Дисперсия бинарной случайной величины. Математическое ожидание произведения и
дисперсия суммы независимых случайных величин. Дисперсия и стандартное отклонение
биномиального распределения. Дисперсия и стандартное отклонение геометрического
распределения.
Неравенство Чебышѐва. Теорема Чебышѐва. Теорема Бернулли.
Закон больших
чисел. Выборочный метод исследований. Выборочные характеристики. Оценивание
вероятности события по выборочным данным. Проверка простейших гипотез с помощью
изученных распределений.
Непрерывные случайные величины. Примеры. Функция плотности вероятности
распределения. Равномерное распределение и его свойства. Задачи, приводящие к
показательному распределению. Задачи, приводящие к нормальному распределению.
Функция плотности вероятности показательного распределения, функция плотности
вероятности нормального распределения. Функция плотности и свойства нормального
распределения.
Последовательность одиночных независимых событий. Задачи, приводящие к
распределению Пуассона.
Ковариация двух случайных величин. Коэффициент линейной корреляции.
Совместные наблюдения двух величин. Выборочный коэффициент корреляции. Различие
между линейной связью и причинно-следственной связью. Линейная регрессия, метод
наименьших квадратов.
ПЛАНИРУЕМЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ
УЧЕБНОГО
КУРСА
«ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» (УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ
СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного члена российского общества, представление о математических основах
функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества
(выборы, опросы и другое), умение взаимодействовать с социальными институтами в
соответствии с их функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и
настоящему российской математики, ценностное отношение к достижениям российских
математиков и российской математической школы, использование этих достижений в
других науках, технологиях, сферах экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим применением
достижений науки и деятельностью учѐного, осознание личного вклада в построение
устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое
отношение
к
миру,
включая
эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость к
математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в интересах здорового
и безопасного образа жизни, ответственное отношение к своему здоровью (здоровое
питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность),
физическое совершенствование при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и еѐ приложениями, умение
совершать осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные
жизненные планы, готовность и способность к математическому образованию и
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному участию в решении
практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния социальноэкономических процессов на состояние природной и социальной среды, осознание
глобального характера экологических проблем, ориентация на применение
математических знаний для решения задач в области окружающей среды, планирование
поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню
развития науки и общественной практики, понимание математической науки как сферы
человеческой деятельности, этапов еѐ развития и значимости для развития цивилизации,
овладение языком математики и математической культурой как средством познания мира,
готовность осуществлять проектную и исследовательскую деятельность индивидуально и
в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями, формулировать определения понятий,
устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения и
сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления
закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и
от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры,
обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов
решения, выбирать наиболее подходящий с учѐтом самостоятельно выделенных
критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать
вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и данное,
формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по
установлению особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению
зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведѐнного
наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и
обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о
его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для
решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
структурировать информацию, представлять еѐ в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать надѐжность информации по самостоятельно сформулированным
критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных
текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный
результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои
суждения с суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство
позиций, в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта,
самостоятельно выбирать формат выступления с учѐтом задач презентации и
особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учѐтом
имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учѐтом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий
и мыслительных процессов, их результатов, владеть способами самопроверки,
самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить
коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок,
выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать
оценку приобретѐнному опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных задач, принимать цель совместной деятельности, планировать
организацию совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать
процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые
штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и координировать свои действия с
другими членами команды, оценивать качество своего вклада в общий продукт по
критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу 10 класса обучающийся научится:
свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф, путь в графе,
цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного эксперимента;
свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт), случайное
событие, элементарное случайное событие (элементарный исход) случайного опыта,
находить вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями;
находить и формулировать события: пересечение, объединение данных событий,
событие, противоположное данному, использовать диаграммы Эйлера, координатную
прямую для решения задач, пользоваться формулой сложения вероятностей для
вероятностей двух и трех случайных событий;
оперировать понятиями: условная вероятность, умножение вероятностей,
независимые события, дерево случайного эксперимента, находить вероятности событий с
помощью правила умножения, дерева случайного опыта, использовать формулу полной
вероятности, формулу Байеса при решении задач, определять независимость событий по
формуле и по организации случайного эксперимента;
применять изученные комбинаторные формулы для перечисления элементов
множеств, элементарных событий случайного опыта, решения задач по теории
вероятностей;
свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт (испытание), успех и
неудача, независимые испытания, серия испытаний, находить вероятности событий: в
серии испытаний до первого успеха, в серии испытаний Бернулли, в опыте, связанном со
случайным выбором из конечной совокупности;
свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина, геометрическое,
биномиальное распределение.
К концу 11 класса обучающийся научится:
оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных величин,
использовать таблицу совместного распределения двух случайных величин для выделения
распределения каждой величины, определения независимости случайных величин;
свободно оперировать понятием математического ожидания случайной величины
(распределения), применять свойства математического ожидания при решении задач,
вычислять математическое ожидание биномиального и геометрического распределений;
свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение случайной
величины, применять свойства дисперсии случайной величины (распределения) при
решении задач, вычислять дисперсию и стандартное отклонение геометрического и
биномиального распределений;
вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать
характеристики генеральной совокупности данных по выборочным характеристикам.
Оценивать вероятности событий и проверять простейшие статистические гипотезы,
пользуясь изученными распределениями.
Таблица 11
Проверяемые требования к результатам освоения основной
образовательной программы (10 класс)
Код
проверяемого
результата
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Теория вероятностей и статистика
Читать и строить таблицы и диаграммы
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее, наименьшее значение, размах массива числовых данных
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное
событие, элементарное событие (элементарный исход) случайного
опыта; находить вероятности в опытах с равновозможными
случайными событиями, находить и сравнивать вероятности событий в
изученных случайных экспериментах
Находить и формулировать события: пересечение и объединение
данных событий, событие, противоположное данному событию;
пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей
при решении задач
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события;
находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью
дерева случайного опыта
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия
испытаний, успех и неудача; находить вероятности событий в серии
независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности
событий в серии испытаний Бернулли
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение
вероятностей, диаграмма распределения
Таблица 11.1
Проверяемые элементы содержания (10 класс)
Код
6
Проверяемый элемент содержания
Теория вероятностей и статистика
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах,
дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные
события (исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и
вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными элементарными
событиями. Вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными
событиями
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные
события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Независимые события
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число
сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Серия
независимых испытаний Бернулли
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения.
Примеры распределений, в том числе геометрическое и биномиальное
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Таблица 11.2
Проверяемые требования к результатам освоения основной
образовательной программы (11 класс)
Код
проверяемого
результата
5
5.1
5.2
5.3
5.4
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Теория вероятностей и статистика
Сравнивать вероятности значений случайной величины по
распределению или с помощью диаграмм
Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры
того, как применяется математическое ожидание случайной величины,
находить математическое ожидание по данному распределению
Иметь представление о законе больших чисел
Иметь представление о нормальном распределении
Таблица 11.3
Проверяемые элементы содержания (11 класс)
Код
5
5.1
Проверяемый элемент содержания
Теория вероятностей и статистика
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
5.2
5.3
дисперсия и стандартное отклонение. Примеры применения математического
ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни. Математическое
ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрического и
биномиального распределений
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный
метод исследований
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности
распределения. Задачи, приводящие к нормальному распределению. Понятие о
нормальном распределении
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№ п/п
Наименование разделов и тем
программы.
Всего
Контрольные
работы
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
Формируемые
социальнозначимые и
ценностные
отношения
(приложение)
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
1
Элементы теории графов.
3
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
2
Случайные опыты, случайные события и
вероятности событий
3
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
1;2;3;4;5;6;7;8
11
2. Российская
электронная
школа
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
3
Операции над множествами и
событиями. Сложение и умножение
вероятностей. Условная вероятность.
Независимые события.
5
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
12
http://yotx.ru/
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
4
Элементы комбинаторики.
4
1
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
5
Серии последовательных испытаний.
Испытания Бернулли. Случайный выбор
из конечной совокупности
5
электронная
школа
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
13
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
6
Случайные величины и распределения.
14
1
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
34
2
14
11 КЛАСС
Количество часов
№ п/п
Наименование разделов и тем
программы.
Всего
Контрольные
работы
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
Формируемые
социальнозначимые и
ценностные
отношения
(приложение)
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
1
Закон больших чисел.
5
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
2
Элементы математической статистики.
6
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
1;2;3;4;5;6;7;8
15
электронная
школа
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
3
Непрерывные случайные величины
(распределения), показательное и
нормальное распределения
4
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
16
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
4
Распределение Пуассона.
2
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
5
Связь между случайными величинами.
6
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
17
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
1. ЯКласс
https://www.yaklass.
ru/
2. Российская
электронная
школа
6
Обобщение и систематизация знаний.
11
1
https://resh.edu.ru
3. https://math.ru
4. Обучающая
1;2;3;4;5;6;7;8
онлайн-система
по математике
«01Математика».
–https://01math.com/
5. Сервис онлайн
построения
графиков. –
http://yotx.ru/
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
34
1
18
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№ п/п
Тема урока
Всего
1
Граф, связный граф, представление
задачи с помощью графа
1
2
Степень (валентность) вершины. Путь
в графе. Цепи и циклы.
1
3
Графы на плоскости. Дерево
случайного эксперимента
4
Случайные эксперименты (опыты) и
случайные события. Элементарные
события (исходы).
5
Вероятность случайного события.
Вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными
событиями
6
Вероятность случайного события.
Вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными
событиями
Контр-е
работы
Дата
изучения
Основные виды деятельности
1 неделя
Представлять объекты и связи между
ними с помощью графа, находить пути
между вершинами графа.
2 неделя
3 неделя
Строить дерево по описанию
случайного опыта, описывать
случайные события в терминах дерева.
Решать задачи с помощью графов.
4 неделя
Выделять и описывать случайные
события в случайном опыте.
Формулировать условия проведения
случайного опыта.
1
1
5 неделя
1
6 неделя
1
Выделять в графе цепи и циклы.
Находить вероятности событий в
опытах с равновозможными
элементарными исходами.
Находить вероятности событий в
опытах с равновозможными
элементарными исходами.
19
7
Пересечение, объединение множеств
и событий, противоположные
события. Формула сложения
вероятностей.
1
8
Условная вероятность. Умножение
вероятностей. Формула условной
вероятности
1
9
Условная вероятность. Умножение
вероятностей. Формула условной
вероятности
10
11
Формула полной вероятности.
Формула Байеса. Независимые
события
7 неделя
8 неделя
Использовать диаграммы Эйлера и
вербальное описание событий при
выполнении операций над событиями.
9 неделя
Оценивать изменение вероятностей
событий по мере наступления других
событий в случайном опыте.
10 неделя
Оценивать изменение вероятностей
событий по мере наступления других
событий в случайном опыте.
11 неделя
Решать задачи, в том числе с
использованием дерева случайного
опыта, формул сложения и умножения
вероятностей
12 неделя
Формулировать и доказывать
комбинаторные факты. Использовать
правило умножения, изученные
комбинаторные формулы для
перечисления элементов различных
множеств, в том числе элементарных
событий в случайном опыте.
13 неделя
Пользоваться формулой и
треугольником Паскаля для
определения числа сочетаний.
14 неделя
Применять формулу бинома Ньютона
1
1
1
12
Комбинаторное правило умножения.
Перестановки и факториал
13
Число сочетаний. Треугольник
Паскаля
1
14
Формула бинома Ньютона
1
Находить вероятности событий в
опытах с равновозможными
элементарными исходами.
1
20
для преобразования выражений
15 неделя
15
Контрольная работа №1: "Графы,
вероятности, множества,
комбинаторика"
16
Бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача.
Независимые испытания. Серия
независимых испытаний до первого
успеха
1
17
Серия независимых испытаний до
первого успеха
1
1
1
Пользоваться формулой и
треугольником Паскаля для
определения числа сочетаний.
Применять формулу бинома Ньютона
для преобразования выражений.
16 неделя
18
Случайный выбор из конечной
совокупности
1
19
Практическая работа с
использованием электронных таблиц
1
20
Случайная величина. Распределение
вероятностей. Диаграмма
распределения
1
21
Операции над случайными
величинами. Примеры распределений.
1
Разбивать сложные эксперименты на
отдельные испытания.
17 неделя
Решать задачи на поиск вероятностей
событий в серии испытаний до первого
успеха.
18 неделя
Решать задачи на поиск вероятностей
событий со случайным выбором из
конечной совокупности с
использованием комбинаторных
фактов и формул.
19 неделя
Решать задачи на поиск вероятностей
событий в ходе практической работы с
применением стандартных функций.
20 неделя
Осваивать понятия: случайная
величина, распределение, таблица
распределения, диаграмма
распределения.
21 неделя
Находить значения суммы и
произведения случайных величин.
21
Бинарная случайная величина.
22
Геометрическое распределение.
Биномиальное распределение
23
Математическое ожидание случайной
величины. Совместное распределение
двух случайных величин
1
24
Примеры применения
математического ожидания
1
25
Независимые случайные величины.
Свойства математического ожидания.
Математическое ожидание бинарной
случайной величины.
26
Математическое ожидание
геометрического и биномиального
распределений
27
28
Дисперсия и стандартное отклонение.
Дисперсия бинарной случайной
величины. Свойства дисперсии
22 неделя
Строить бинарные распределения по
описанию событий в случайных
опытах.
23 неделя
Строить совместные распределения.
Изучать свойства математического
ожидания.
1
24 неделя
25 неделя
Находить значения суммы и
произведения случайных величин.
Строить бинарные распределения по
описанию событий в случайных
опытах.
26 неделя
Строить и распознавать
геометрическое и биномиальное
распределения.
27 неделя
Осваивать понятия: дисперсия,
стандартное отклонение случайной
величины. Изучать свойства
математического ожидания. Решать
задачи с помощью изученных свойств.
28 неделя
Осваивать понятия: дисперсия,
стандартное отклонение случайной
величины. Находить дисперсию по
распределению. Изучать свойства
дисперсии.
1
1
1
1
Страхование, лотерея
22
29
Математическое ожидание
произведения и дисперсия суммы
независимых случайных величин
30
Практическая работа с
использованием электронных таблиц
31
Дисперсия биномиального
распределения. Практическая работа с
использованием электронных таблиц
1
32
Обобщение и систематизация знаний
1
33
Контрольная работа №2: "Испытания
Бернулли. Случайные величины и
распределения"
1
34
Обобщение и систематизация знаний.
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
29 неделя
1
30 неделя
1
31 неделя
Находить дисперсию по
распределению. Изучать свойства
дисперсии
Находить дисперсию по
распределению.
32 неделя
33 неделя
34
Изучать свойства математического
ожидания.
1
По изученным формулам находить
дисперсию биномиального
распределения, в том числе в ходе
практической работы
34 неделя
2
23
11 КЛАСС
№
п/п
Количество часов
Тема урока
Всего
1
Неравенство Чебышева. Теорема
Чебышева. Теорема Бернулли. Закон
больших чисел
2
Неравенство Чебышева. Теорема
Чебышева. Теорема Бернулли. Закон
больших чисел
3
Неравенство Чебышева. Теорема
Чебышева. Теорема Бернулли. Закон
больших чисел.
1
4
Выборочный метод исследований
1
5
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
6
Генеральная совокупность и случайная
выборка. Знакомство с выборочными
характеристиками. Оценка среднего и
дисперсии генеральной совокупности с
помощью выборочных характеристик
7
Генеральная совокупность и случайная
выборка. Знакомство с выборочными
характеристиками. Оценка среднего и
дисперсии генеральной совокупности с
1
Контр-е
работы
Дата
изучения
1 неделя
Основные виды деятельности.
Разбирать доказательства теорем.
2 неделя
Разбирать доказательства теорем.
1
3 неделя
Разбирать доказательства теорем.
4 неделя
Осваивать выборочный метод
исследований.
5 неделя
Осваивать выборочный метод
исследований, в том числе в ходе
практической работы
1
6 неделя
Осваивать понятия: генеральная
совокупность, выборка, выборочное
среднее и выборочная дисперсия.
1
7 неделя
1
Осваивать понятия: генеральная
совокупность, выборка, выборочное
среднее и выборочная дисперсия.
24
помощью выборочных характеристик
8 неделя
8
Оценивание вероятностей событий по
выборке
9
Статистическая гипотеза. Проверка
простейших гипотез с помощью свойств
изученных распределений
10
Статистическая гипотеза. Проверка
простейших гипотез с помощью свойств
изученных распределений
11
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
1
9 неделя
1
10 неделя
1
Примеры непрерывных случайных
величин. Функция плотности вероятности
13
Равномерное распределение. Примеры
задач, приводящих к показательному и к
нормальному распределениям
1
14
Функция плотности вероятности
показательного распределения
1
15
Функция плотности вероятности
нормального распределения
Осваивать понятия: статистическая
гипотеза.
Оценивать вероятность событий и
проверять простейшие гипотезы на
основе выборочных данных, в том
числе в ходе практической работы
12 неделя
Знакомиться понятиями: непрерывная
случайная величина, непрерывное
распределение, функция плотности
вероятности.
13 неделя
Знакомиться с понятиями:
показательное распределение,
нормальное распределение.
14 неделя
Находить вероятности событий по
данной функции плотности.
15 неделя
Находить вероятности событий по
данной функции плотности. Выделять
по описанию случайные величины,
распределенные по показательному
1
1
Осваивать понятия: статистическая
гипотеза.
11 неделя
1
12
Вычислять выборочные
характеристики и на их основе
оценивать характеристики
генеральной совокупности.
25
закону, по нормальному закону.
16
Последовательность одиночных
независимых событий. Пример задачи,
приводящей к распределению Пуассона.
17
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
18
Ковариация двух случайных величин.
Коэффициент корреляции
19
20
21
Совместные наблюдения двух величин.
Выборочный коэффициент корреляции.
Различие между линейной связью и
причинно-следственной связью
16 неделя
Выделять по описанию случайного
опыта величины, распределенные по
закону Пуассона.
17 неделя
Решать задачи, в том числе в ходе
практической работы с применением
стандартных функций электронных
таблиц.
18 неделя
Осваивать понятия: ковариация,
коэффициент корреляции, линейная
зависимость.
19 неделя
Оценивать характер связи между
случайными величинами, исходя из
природы данных и вычисленных
характеристик.
20 неделя
Использовать диаграммы рассеивания
для изображения совместного
рассеивания данных.
21 неделя
Оценивать характер связи между
случайными величинами, исходя из
природы данных и вычисленных
характеристик.
22 неделя
Оценивать характер связи между
случайными величинами, исходя из
природы данных и вычисленных
характеристик.
23 неделя
Находить коэффициенты оси
диаграммы, в том числе в ходе
1
1
1
1
1
1
22
Линейная регрессия.
1
23
Практическая работа с использованием
электронных таблиц
1
26
практической работы с применением
стандартных функций.
24
Представление данных с помощью таблиц
и диаграмм, описательная статистика
1
25
Опыты с равновозможными
элементарными событиями
1
26
Вычисление вероятностей событий с
применением формул
1
27
Вычисление вероятностей событий с
применением графических методов:
координатная прямая, дерево, диаграмма
Эйлера
1
28
Случайные величины и распределения.
1
29
Математическое ожидание случайной
величины
1
30
Математическое ожидание случайной
величины.
1
31
Контрольная работа: "Вероятность и
статистика"
1
32
Вычисление вероятностей событий с
применением формул и графических
методов
1
33
Вычисление вероятностей событий с
применением формул и графических
методов
1
34
Случайные величины и распределения.
Математическое ожидание случайной
1
24 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
25 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
26 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
27 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
1
28 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
29 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
30 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
31 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
32 неделя
33 неделя
34 неделя
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
Повторять изученное и выстраивать
систему знаний.
27
величины
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
34
1
28
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
Математика. Вероятность и статистика. 10 класс. Базовый и
углублѐнный уровни. Учебное пособие. Бунимович Е.А. (10-11). Просвещение 2023.
Алгебра и начала математического анализа. Алимов Ш.А., другие 10-11, Просвещение
2023
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
- Математика. Вероятность и статистика. 10 класс. Базовый и углублѐнный уровни.
Учебное пособие. Бунимович Е.А. (10-11). Просвещение 2023.
- Теория вероятностей и статистика. Экспериментальное учебное пособие для 10-11
классов общеобразовательных учреждений. Ю.Н. Тюрин и др. Москва. МЦНМО, 2014.
- Вероятность и статистика.10-11 классы. Планирование и практикум: Пособие для
учителя. Бродский И.Л. Мешавкина О.С. Арктик 2009
- Алгебра и начала математического анализа. Алимов Ш.А., другие 10-11, Просвещение,
2023
- Лютикас В. С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учебное
пособие для 9—11 классов средней школы 3-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1990
- Е.А. Бунимович, В.А. Булычев «Основы статистики и вероятность» 5-11 классы. М:
«Дрофа», 2008.
- Бунимович Е.А, В.А. Булычев, И.Р. Высоцкий и др., О теории вероятностей и
статистике в школьном курсе, Математика в школе, №7, Школьная пресса, 2009
- Высоцкий И. В., Ященко И. В. Типичные ошибки в преподавании теории вероятностей
и статистики. Математика в школе, № 5, 2014. Материалы 2-й Международной научной
конференции «Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и
вузе». МПГУ, октябрь, 2014.
- Методика и технология обучения математике. Курс лекций Пособие для вузов / Под
научн. Ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
Г.И.Фалин, Преподавание теории вероятностей в школе. Математика в школе№ 2, 2014
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ ИНТЕРНЕТ
http://ptlab.mccme.ru
Сайт
«Лаборатория
теории
вероятностей»
https://fipi.ru – Сайт Федерального института педагогических измерений
http://fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege – Открытый банк заданий ЕГЭ
https://www.problems.ru –
Интернет-проект
«Задачи».
https://resh.edu.ru –
Российская электронная школа.
http://school-collection.edu.ru/ – Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.
https://www.yaklass.ru/p/veroyatnost-i-statistika образовательная площадка Якласс.
https:// ptlab.mccme.ru/vertical - Сайт Математическая вертикаль. Вероятность в школе.
29
ОЦЕНОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Критерии и нормы оценки знаний обучающихся:
Оценка письменных контрольных работ обучающихся.
Ответ оценивается отметкой «5», если:
• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием
незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение
обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущены одна ошибка или есть два - три недочѐта в выкладках, рисунках,
чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
• допущено более одной ошибки или более двух - трех недочетов в выкладках, чертежах или
графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями попроверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает
обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Оценка устных ответов обучающихся по математике
Ответ оценивается отметкой «5»,если ученик:
• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и
учебником;
• изложил материал грамотным языком, точно используя терминологию и символику, в
определенной логической последовательности;
• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
• показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в новой
ситуации при выполнении практического задания;
• продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем,
сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;
• отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов учителя;
• возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в
выкладках, которые ученик легко исправил после замечания учителя.
Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5»,
но при этом имеет один из недостатков:
• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее содержание ответа;
• допущены один - два недочета при освещении основного содержания ответа,
исправленные после замечания учителя;
• допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных
вопросов или в выкладках, легко исправленные после замечания учителя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:
• неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не всегда
последовательно), но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения,
достаточные для усвоения программного материала;
• имелись затруднения или допущены ошибки в определении терминологии, выкладках,
исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;
• ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении
30
практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной
теме;
• при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная
сформированность основных умений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:
• не раскрыто основное содержание учебного материала;
• обнаружено незнание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;
• допущены ошибки в определении понятий, при использовании терминологии, в выкладках,
которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.
Общая классификация ошибок.
При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все ошибки (грубые
и негрубые) и недочѐты.
Грубыми считаются ошибки:
• незнание определения основных понятий, законов, правил, основных
положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин;
• неумение выделить в ответе главное;
• неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;
• неумение делать выводы и обобщения;
• неумение читать и строить графы;
• неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;
• вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
• логические ошибки.
К негрубым ошибкам следует отнести:
• неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата
основных признаков определяемого понятия или заменой одного – двух из этих признаков
второстепенными;
• неточность графа;
• нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа
(нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);
• нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;
• неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.
Недочетами являются:
• нерациональные приемы вычислений и преобразований;
• небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графов.
Виды и формы контроля:
- текущий контроль в форме контрольных работ, рассчитанных на 40 минут;
- тесты и самостоятельные работы на 15 – 20 минут с дифференцированным оцениванием;
- самостоятельные работы;
- устный опрос, выполнение практических работ; промежуточный и
итоговый контроль в форме зачѐта, контрольной работы.
31
Для проведения единого государственного экзамена по математике (далее - ЕГЭ по
математике) используется перечень (кодификатор) проверяемых требований к результатам
освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов
содержания.
Таблица 12
Проверяемые на ЕГЭ по математике требования
к результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
Код
проверяемого
требования
1
2
Проверяемые требования к предметным результатам освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение
формулировать и оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема,
следствие,
свойство,
признак,
доказательство,
равносильные
формулировки; применять их; умение формулировать обратное и
противоположное утверждение, приводить примеры и контрпримеры,
использовать метод математической индукции; проводить доказательные
рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность
рассуждений; умение оперировать понятиями: множество, подмножество,
операции
над
множествами;
умение
использовать
теоретикомножественный аппарат для описания реальных процессов и явлений и при
решении задач, в том числе из других учебных предметов; умение
оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, граф на
плоскости; умение задавать и описывать графы различными способами;
использовать графы при решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число, степень с
целым показателем, корень натуральной степени, степень с рациональным
показателем, степень с действительным показателем, логарифм числа,
синус, косинус и тангенс произвольного числа, остаток по модулю,
рациональное число, иррациональное число, множества натуральных,
целых, рациональных, действительных чисел; умение использовать
признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее общее
кратное, алгоритм Евклида при решении задач; знакомство с различными
позиционными системами счисления; умение выполнять вычисление
значений и преобразования выражений со степенями и логарифмами,
преобразования дробно-рациональных выражений; умение оперировать
понятиями:
последовательность,
арифметическая
прогрессия,
геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия; умение задавать последовательности, в том числе с помощью
рекуррентных формул; умение оперировать понятиями: комплексное
число, сопряженные комплексные числа, модуль и аргумент комплексного
числа,
форма
записи
комплексных
чисел
(геометрическая,
тригонометрическая и алгебраическая); уметь производить арифметические
действия с комплексными числами; приводить примеры использования
32
3
4
5
6
7
комплексных чисел; оперировать понятиями: матрица 2 x 2 и 3 x 3,
определитель матрицы, геометрический смысл определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные,
степенные,
логарифмические,
тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать понятиями:
тождество, тождественное преобразование, уравнение, неравенство,
система уравнений и неравенств, равносильность уравнений, неравенств и
систем; умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью
различных приемов; решать уравнения, неравенства и системы с
параметром; применять уравнения, неравенства, их системы для решения
математических задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни
Умение оперировать понятиями: функция, четность функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции,
экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и
вторая производная функции, геометрический и физический смысл
производной, первообразная, определенный интеграл; умение находить
асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы,
произведения, частного и композиции функций, находить уравнение
касательной к графику функции; умение находить производные
элементарных функций; умение использовать производную для
исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения
функций; строить графики многочленов с использованием аппарата
математического анализа; применять производную для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических
и физических задачах; находить площади и объемы фигур с помощью
интеграла; приводить примеры математического моделирования с
помощью дифференциальных уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические функции,
обратные тригонометрические функции, показательная и логарифмическая
функции; умение строить графики изученных функций, выполнять
преобразования графиков функций, использовать графики для изучения
процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных
предметов и задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости
между величинами; использовать свойства и графики функций для
решения уравнений, неравенств и задач с параметрами; изображать на
координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств и их
систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты,
доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги,
задачи из области управления личными и семейными финансами);
составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию
задачи, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность
результатов; умение моделировать реальные ситуации на языке
математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы
по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием
аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
33
8
9
10
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать статистические
данные, в том числе с применением графических методов и электронных
средств; графически исследовать совместные наблюдения с помощью
диаграмм рассеивания и линейной регрессии
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие,
вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с
использованием графических методов; применять формулы сложения и
умножения вероятностей, формулу полной вероятности, формулу
Бернулли, комбинаторные факты и формулы; оценивать вероятности
реальных событий; умение оперировать понятиями: случайная величина,
распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и
стандартное отклонение случайной величины, функции распределения и
плотности равномерного, показательного и нормального распределений;
умение использовать свойства изученных распределений для решения
задач; знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных
исследований; умение приводить примеры проявления закона больших
чисел в природных и общественных явлениях; умение оперировать
понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний, число перестановок;
бином Ньютона; умение применять комбинаторные факты и рассуждения
для решения задач; оценивать вероятности реальных событий; составлять
вероятностную модель и интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство,
отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол, трехгранный
угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол между прямой и
плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости,
расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями; умение
использовать при решении задач изученные факты и теоремы
планиметрии; умение оценивать размеры объектов окружающего мира;
строить математические модели с помощью геометрических понятий и
величин, решать связанные с ними практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объем фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника, куб,
параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения,
цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объем куба, прямоугольного
параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара, развертка
поверхности, сечения конуса и цилиндра, параллельные оси или
основанию, сечение шара, плоскость, касающаяся сферы, цилиндра,
конуса;
умение
строить
сечение
многогранника,
изображать
многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения, в том числе с
помощью
электронных
средств;
умение
применять
свойства
геометрических фигур, самостоятельно формулировать определения
изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и признаках
геометрических фигур, обосновывать или опровергать их; умение
проводить классификацию фигур по различным признакам, выполнять
необходимые дополнительные построения
34
11
12
13
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, параллельный
перенос, симметрия на плоскости и в пространстве, поворот,
преобразование подобия, подобные фигуры; умение распознавать равные и
подобные фигуры, в том числе в природе, искусстве, архитектуре;
использовать геометрические отношения при решении задач; находить
геометрические величины (длина, угол, площадь, объем) при решении
задач из других учебных предметов и из реальной жизни; умение
вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь, объем,
площадь поверхности), используя изученные формулы и методы, в том
числе: площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра,
площадь сферы; объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды,
призмы, цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение объемов
подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
произведение вектора на число, разложение вектора по базису, скалярное
произведение, векторное произведение, угол между векторами; умение
использовать векторный и координатный метод для решения
геометрических задач и задач других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных процессов
и явлений; умение распознавать проявление законов математики в
искусстве, умение приводить примеры математических открытий
российской и мировой математической науки
Таблица 12.1
Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ
по математике
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
Арифметический
корень
натуральной
степени.
Действия
с
арифметическими корнями натуральной степени
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и
оценка результата вычислений
Преобразование выражений
Комплексные числа
Уравнения и неравенства
Целые и дробно-рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
35
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
5.2
6
6.1
6.2
6.3
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Тригонометрические уравнения
Показательные и логарифмические уравнения
Целые и дробно-рациональные неравенства
Иррациональные неравенства
Показательные и логарифмические неравенства
Тригонометрические неравенства
Системы и совокупности уравнений и неравенств
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных
процентов
Начала математического анализа
Производная функции. Производные элементарных функций
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке
Первообразная. Интеграл
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна
Логика
Вероятность и статистика
Описательная статистика
Вероятность
Комбинаторика
Геометрия
Фигуры на плоскости
Прямые и плоскости в пространстве
Многогранники
Тела и поверхности вращения
Координаты и векторы
36
Приложение
ЦЕЛЕВЫЕ ОРИЕНТИРЫ РЕЗУЛЬТАТОВ ВОСПИТАНИЯ НА УРОВНЕ
СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
В данном разделе представлены целевые ориентиры результатов в воспитании,
развитии личности обучающихся, на достижение которых должна быть направлена
деятельность педагогического коллектива для выполнения требований ФГОС СОО.
Целевые ориентиры определены в соответствии с инвариантным содержанием
воспитания обучающихся на основе российских базовых (гражданских,
конституциональных) ценностей, обеспечивают единство воспитания, воспитательного
пространства.
Целевые ориентиры
1. Гражданское воспитание
Осознанно выражающий свою российскую гражданскую принадлежность
(идентичность) в поликультурном, многонациональном и многоконфессиональном
российском обществе, в мировом сообществе;
сознающий своѐ единство с народом России как источником власти и субъектом
тысячелетней российской государственности, с Российским государством,
ответственность за его развитие в настоящем и будущем на основе исторического
просвещения, сформированного российского национального исторического сознания;
проявляющий готовность к защите Родины, способный аргументированно отстаивать
суверенитет и достоинство народа России и Российского государства, сохранять и
защищать историческую правду;
ориентированный на активное гражданское участие на основе уважения закона и
правопорядка, прав и свобод сограждан;
осознанно и деятельно выражающий неприятие любой дискриминации по социальным,
национальным, расовым, религиозным признакам, проявлений экстремизма,
терроризма, коррупции, антигосударственной деятельности;
обладающий опытом гражданской социально значимой деятельности (в ученическом
самоуправлении, волонтѐрском движении, экологических, военно-патриотических и
другие объединениях, акциях, программах).
2. Патриотическое воспитание
Выражающий свою национальную, этническую принадлежность, приверженность к
родной культуре, любовь к своему народу;
сознающий причастность к многонациональному народу Российской Федерации,
Российскому Отечеству, российскую культурную идентичность;
проявляющий деятельное ценностное отношение к историческому и культурному
наследию своего и других народов России, традициям, праздникам, памятникам
народов, проживающих в родной стране - России;
проявляющий уважение к соотечественникам, проживающим за рубежом,
поддерживающий их права, защиту их интересов в сохранении российской культурной
идентичности.
3.Духовно-нравственное воспитание
Проявляющий приверженность традиционным духовно-нравственным ценностям,
культуре народов России с учѐтом мировоззренческого, национального,
конфессионального самоопределения;
действующий и оценивающий своѐ поведение и поступки, поведение и поступки
37
других людей с позиций традиционных российских духовно- нравственных ценностей
и норм с осознанием последствий поступков, деятельно выражающий неприятие
антигуманных и асоциальных поступков, поведения, противоречащих этим ценностям;
проявляющий уважение к жизни и достоинству каждого человека, свободе
мировоззренческого выбора и самоопределения, к представителям различных
этнических групп, религий народов России, их национальному достоинству и
религиозным чувствам с учѐтом соблюдения конституционных прав и свобод всех
граждан;
понимающий
и
деятельно
выражающий
ценность
межнационального,
межрелигиозного согласия людей, народов в России, способный вести диалог с
людьми разных национальностей, отношения к религии и религиозной
принадлежности, находить общие цели и сотрудничать для их достижения;
ориентированный на создание устойчивой семьи на основе российских традиционных
семейных ценностей, понимания брака как союза мужчины и женщины для создания
семьи, рождения и воспитания в семье детей, неприятия насилия в семье, ухода от
родительской ответственности;
обладающий сформированными представлениями о ценности и значении в
отечественной и мировой культуре языков и литературы народов России,
демонстрирующий устойчивый интерес к чтению как средству познания
отечественной и мировой духовной культуры.
4.Эстетическое воспитание
Выражающий понимание ценности отечественного и мирового искусства, российского
и мирового художественного наследия;
проявляющий восприимчивость к разным видам искусства, понимание
эмоционального воздействия искусства, его влияния на поведение людей, умеющий
критически оценивать это влияние;
проявляющий понимание художественной культуры как средства коммуникации и
самовыражения в современном обществе, значения нравственных норм, ценностей,
традиций в искусстве;
ориентированный на осознанное творческое самовыражение, реализацию творческих
способностей в разных видах искусства с учѐтом российских традиционных духовных
и нравственных ценностей, на эстетическое обустройство собственного быта.
5.Физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоционального
благополучия
Понимающий и выражающий в практической деятельности ценность жизни, здоровья
и безопасности, значение личных усилий в сохранении и укреплении своего здоровья и
здоровья других людей;
соблюдающий правила личной и общественной безопасности, в том числе безопасного
поведения в информационной среде;
выражающий на практике установку на здоровый образ жизни (здоровое питание,
соблюдение гигиены, режим занятий и отдыха, регулярную физическую активность),
стремление к физическому совершенствованию, соблюдающий и пропагандирующий
безопасный и здоровый образ жизни;
проявляющий сознательное и обоснованное неприятие вредных привычек (курения,
употребления алкоголя, наркотиков, любых форм зависимостей), деструктивного
поведения в обществе и цифровой среде, понимание их вреда для физического и
психического здоровья;
демонстрирующий
навыки
рефлексии
своего
состояния
(физического,
эмоционального, психологического), состояния других людей с точки зрения
безопасности, сознательного управления своим эмоциональным состоянием;
38
развивающий способности адаптироваться к стрессовым ситуациям в общении, в
разных коллективах, к меняющимся условиям (социальным, информационным,
природным).
6. Трудовое воспитание
Уважающий труд, результаты труда, трудовые и профессиональные достижения своих
земляков, их вклад в развитие своего поселения, края, страны, трудовые достижения
российского народа;
проявляющий способность к творческому созидательному социально значимому труду
в доступных по возрасту социально-трудовых ролях, в том числе
предпринимательской деятельности в условиях самозанятости или наѐмного труда;
участвующий в социально значимой трудовой деятельности разного вида в семье,
общеобразовательной организации, своей местности, в том числе оплачиваемом труде
в каникулярные периоды, с учѐтом соблюдения законодательства Российской
Федерации;
выражающий осознанную готовность к получению профессионального образования, к
непрерывному образованию в течение жизни как условию успешной
профессиональной и общественной деятельности;
понимающий специфику трудовой деятельности, регулирования трудовых отношений,
самообразования и профессиональной самоподготовки в информационном
высокотехнологическом обществе, готовый учиться и трудиться в современном
обществе;
ориентированный на осознанный выбор сферы трудовой, профессиональной
деятельности в российском обществе с учѐтом личных жизненных планов,
потребностей своей семьи, общества.
7. Экологическое воспитание
Демонстрирующий в поведении сформированность экологической культуры на основе
понимания влияния социально-экономических процессов на природу, в том числе на
глобальном уровне, ответственность за действия в природной среде; выражающий
деятельное неприятие действий, приносящих вред природе; применяющий знания
естественных и социальных наук для разумного, бережливого природопользования в
быту, общественном пространстве;
имеющий и развивающий опыт экологически направленной, природоохранной,
ресурсосберегающей деятельности, участвующий в его приобретении другими
людьми.
8. Ценности научного познания
Деятельно выражающий познавательные интересы в разных предметных областях с
учѐтом своих интересов, способностей, достижений;
обладающий представлением о современной научной картине мира, достижениях
науки и техники, аргументированно выражающий понимание значения науки в жизни
российского общества, обеспечении его безопасности, гуманитарном, социальноэкономическом развитии России;
демонстрирующий навыки критического мышления, определения достоверной
научной информации и критики антинаучных представлений;
развивающий и применяющий навыки наблюдения, накопления и систематизации
фактов, осмысления опыта в естественнонаучной и гуманитарной областях познания,
исследовательской деятельности.
39
